Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上動(dòng)點(diǎn)，連接EF，把矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD上，記為點(diǎn)G；如圖2，把矩形展開(kāi)鋪平，連接BE，FG.

（1）判斷四邊形BEGF的形狀一定是　 　，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）若矩形邊AB＝4，BC＝8，直接寫出四邊形BEGF面積的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BEGF是菱形，證明見(jiàn)解析；（2）四邊形BEGF面積的最大值為20.

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行線的性質(zhì)可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可證四邊形BEGF是菱形；

（2）當(dāng)EG最大時(shí)，四邊形BEGF面積有最大值，由勾股定理可求EG的長(zhǎng)，即可求解．

（1）四邊形BEGF是菱形，

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

∵把矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD上，

∴∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，

∴∠DEF＝∠GFE，

∴EG＝FG，

∴EG＝BF，且AD∥BC，

∴四邊形BEGF是平行四邊形，且BF＝FG，

∴四邊形BEGF是菱形，

（2）∵四邊形BEGF是菱形，

∴BE＝EG，

∵S四邊形BEGF＝EG×AB＝4EG，

∴當(dāng)EG最大時(shí)，四邊形BEGF面積有最大值，

當(dāng)AE+EG＝AD時(shí)，EG最大，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴，

∴，

∴BE＝5＝EG，

∴四邊形BEGF面積的最大值＝4×5＝20.