Question

【題目】如圖，中，，是上一點，于點，是的中點，于點，與交于點，若，平分，連結，．

（1）求證：；

（2）求證：．

（3）若，判定四邊形是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）四邊形AEGF是菱形，證明見解析．

【解析】

（1）依據條件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依據F是AD的中點，FG∥AE，即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小題也可以通過證明四邊形ECGH為矩形得出結論）
（2）過點G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依據EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；
（3）依據∠B=30°，可得∠ADE=30°，進而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根據四邊形AEGF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形．

解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FAG，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中點，FG∥AE，
∴H是ED的中點，
∴FG是線段ED的垂直平分線，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）證明：過點G作GP⊥AB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四邊形AEGF是菱形，
證明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴四邊形AEGF是菱形．