Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）①求證圖1中△ADC≌△CEB；②證明DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，請說明DE=AD－BE的理由；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE又具有怎樣的等量關系?請直接寫出這個等量關系（不必說明理由）。

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）DE =AD－BE，詳見解析；（3）DE=BE

【解析】

（1） 平角減去直角之后剩下的兩個銳角互余是解題關鍵.證明△ADC≌△CEB即可；

（2） 直線分割直角所得的兩個銳角互余，證明△ADC≌△CEB；

（3） 此小題和（2）解法一致.

（1）①如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∠ADC=90°，∠BEC=90°，；因為=90°，所以，又因為AC=BC，所以△ADC≌△CEB，

②由①的結論知△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，所以

DE=CE+CD=AD+BE

（2）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E

∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°

∴∠CAD=∠BCE

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB(AAS)

∴CE=AD，CD=BE

∴DE=CE－CD=AD－BE

（3）當MN旋轉到圖3的位置時，AD、DE、根據旋轉的特征，結合（1）、（2）DE、AD、BE所滿足的等量關系是DE=BE – AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）