Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=

1

4

DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得

AE

AB

=

DF

DE

，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．

解答：（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴

AE

AB

=

1

2

，
∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

DF

DE

，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴

ED

CG

=

DF

CF

，
又∵DF=

1

4

DC，正方形的邊長為4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．

點評：此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用．解題的關鍵是數形結合思想的應用．