Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=6

2

，求另一直角邊BC的長．

Answer 1

分析：過O作OF⊥BC，過A作AM⊥OF，根據正方形的性質得出∠AOB=90°，OA=OB，求出∠BOF=∠OAM，根據AAS證△AOM≌△BOF，推出AM=OF，OM=FB，求出四邊形ACFM為矩形，推出AM=CF，AC=MF=5，得出等腰三角形三角形OCF，根據勾股定理求出CF=OF=6，求出BF，即可求出答案．

解答：解：
過O作OF⊥BC于F，過A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠AMO=∠OFB=90°，∠ACB=∠CFM=∠AMF=90°，
∴四邊形ACFM是矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∵四邊形ABDE為正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∵∠AMO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△OBF中

∠OAM=∠BOF ∠AMO=∠OFB OA=OB

∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
∴OF=CF，
∵∠CFO=90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC=6

2

，由勾股定理得：CF=OF=6，
∴BF=OM=OF-FM=6-5=1，
∴BC=6+1=7．

點評：本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，有一定的難度．