Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是△ABC內一點，AD=BD，且AD⊥BD，連接CD．過點C作CE⊥BC交AD的延長線于點 E，連接BE．過點D作DF⊥CD交BC于點F．

（1）若BD=DE=，CE=，求BC的長；

（2）若BD=DE，求證：BF=CF．

Answer 1

【答案】（1）BC=2；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理求出BE的長，進而再次利用勾股定理求出BC的長；
（2）連接AF，首先利用ASA證明出△BDF≌△EDC，得到，進而得到∠ADF=∠BDC，再次利用SAS證出△ADF≌△BDC，結合題干條件得到AF⊥BC，利用等腰三角形的性質得到結論．

試題解析：(1)∵BD⊥AD，點E在AD的延長線上，

∴

∵

∴

∵BC⊥CE，

∴

∴

(2)連接AF，

∵CD⊥BD，DF⊥CD，

∴

∴∠BDF=∠CDE，

∵CE⊥BC，

∴

∴∠DBC=∠CED，

在△BDF和△EDC中，

∵

∴△BDF≌△EDC(ASA)，

∴DF=CD，

∴

∵∠ADB=∠CDF，

∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，

∴∠ADF=∠BDC，

在△ADF和△BDC中，

∵

∴△ADF≌△BDC(SAS)，

∴∠AFD=∠BCD，

∴

∴

∴AF⊥BC，

∴AB=AC，

∴BF=CF.