Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，且12a+5c=0．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．
①移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，設(shè)S=PQ²（cm²），試寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
②當(dāng)S取得最小值時(shí)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正方形的性質(zhì)求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一般式根據(jù)待定系數(shù)法求解．
（2）①用t表示出PB、BQ的長(zhǎng)，利用勾股定理建立起它們之間的關(guān)系；
②利用①中關(guān)系式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出S取最小值時(shí)的t的取值，計(jì)算出PB、BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)R的位置進(jìn)行分類(lèi)討論．

解答：解：（1）據(jù)題意知：A（0，-2），B（2，-2）
∵A點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
∴c=-2
∵12a+5c=0，
∴a=

5

6

（1分）
由AB=2知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=1
即：-

b

2a

=1，b=-

5

3

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=

5

6

x²-

5

3

x-2．（3分）

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²（4分）
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
②假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴S=5（t-

4

5

）²+

4

5

（0≤t≤1），
∴當(dāng)t=

4

5

時(shí)，S取得最小值

4

5

．（6分）
這時(shí)PB=2-

8

5

=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）
分情況討論：
（A）假設(shè)R在BQ的右邊，這時(shí)QR=∥PB，則：
R的橫坐標(biāo)為2.4，R的縱坐標(biāo)為-1.2，即（2.4，-1.2），
代入y=

5

6

x²-

5

3

x-2，左右兩邊相等，
∴這時(shí)存在R（2.4，-1.2）滿(mǎn)足題意．（8分）
（B）假設(shè)R在BQ的左邊，這時(shí)PR=∥QB，
則：R的橫坐標(biāo)為1.6，縱坐標(biāo)為-1.2，即（1.6，-1.2）
代入y=

5

6

x²-

5

3

x-2，左右兩邊不相等，R不在拋物線(xiàn)上．（9分）
（C）假設(shè)R在PB的下方，這時(shí)PR=∥QB，
則：R（1.6，-2.8）代入y=

5

6

x²-

5

3

x-2，左右不相等，R不在拋物線(xiàn)上．
綜上所述，存在一點(diǎn)R（2.4，-1.2）滿(mǎn)足題意．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，是一個(gè)典型的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．作為一個(gè)壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度較大，并運(yùn)用了分類(lèi)討論思想．