Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分線，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=BE，

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，

∴AP= AB=2，

∴PH= ，DH=5，

∴tan∠ADP= = ．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質及角平分線的定義先證明出四邊形ABEF是平行四邊形．再根據一組鄰邊相等得平行四邊形是菱形得出結論；（2）作PH⊥AD于H，根據菱形的性質得出AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，從而得出PH，DH的長度，根據正切函數的定義得出結論。