Question

【題目】如圖，A(－2，2）、AB⊥x軸于點B，AD⊥y軸于點D，C（－2，1）為AB的中點，直線CD交x軸于點F．

（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；

（2）過點C作CE⊥DF且交x軸于點E，求證：∠ADC＝∠EDC；

（3）求點E坐標；

（4）點P是直線CE上的一個動點，求PB＋PF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）證明見解析；（3）E（，0）；（4）PB+PF的最小值為.

【解析】

（1）由題意先求出D的坐標，再利用待定系數(shù)法可求得直線CD的函數(shù)關(guān)系式；

（2）可先證明△ADC≌△BFC，利用全等三角形的性質(zhì)得CF=CD，∠BFC=∠ADC，從而可證明DE=EF，最后利用等邊對等角及等量代換即可證明∠ADC=∠EDC；

（3）利用直線CD的函數(shù)關(guān)系式可求出點F坐標，從而得到OF=4，設(shè)OE=x，則EF=DE=4－x，最后在Rt△DOE中利用勾股定理建立方程即可求出OE得到點E坐標；

（4）由（2）可知點D與F關(guān)于直線CE對稱，連接BD交直線CE于點P，則可知P點即為滿足條件的動點，由勾股定理可求得BD的長，即PB+PF的最小值．

解：（1）∵A(－2，2），AD⊥y軸于點D，

∴D(0，2)，

設(shè)直線CD解析式為y=kx+b(k≠0)，把點D(0，2)，C(－2，1)，代入得：，

解得，

∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=x+2；

（2）∵C是AB的中點，

∴AC=BC，

∵AD⊥y軸于點D，

∴AD∥x軸，

∵AB⊥x軸于點B，

∴∠A=∠CBF=90°，

在△ACD和△BCF中，，

∴△ACD≌△BCF(ASA)，

∴CF=CD，∠BFC=∠ADC，

∵CE⊥DF，

∴CE垂直平分DF，

∴DE=FE，

∴∠EDC=∠EFC，

∴∠ADC=∠EDC；

（3）∵直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=x+2，

∴把y=0代入得0=x+2，解得x=－4，

∴F（－4，0），

∴OF=4，

∵D（0，2），

∴OD=2，

設(shè)OE=x，則EF=DE=4－x，

在Rt△DOE中，，解得x=，即OE=，

∴E（，0）；

（4）如圖，連接BD交直線CE于點P，

由（2）可知點D與點F關(guān)于直線CE對稱，

∴PD=PF，

∴PB+PF=PB+PD≥BD，

∵A(－2，2），AB⊥x軸于點B，

∴B(－2，0)，

∴BD=，

∴PB+PF的最小值為.