Question

【題目】如圖，已知二次函數.

（1）求證:它的圖象與x軸必有兩個不同的交點；

（2）這條拋物線與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,O)(x1<x2),與y軸交于點C,且AB=4,⊙M過A,B,C三點,求扇形MAC的面積S；

（3）在(2)的條件下,拋物線上是否存在點P,PD⊥x軸于D,使△PBD被直線BC分成面積比為1：2的兩部分？若存在,請求出P點的坐標；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）（3）P為（2，-3）或（，）.

【解析】

(1)計算判別式△=（m+3）2>0，即可判斷拋物線與x軸有兩個不同的交點.

（2）根據拋物線的解析式，可表示出A、B的坐標，根據AB=4，可求出m的值，從而確定該拋物線的解析式，即可得到A、B、C的坐標；根據B、C的坐標，可得到∠OBC=45°，根據圓周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的長易求得，即可得到半徑AM、MC的長，利用扇形的面積公式，即可求得扇形AMC的面積．
（3）設PD與BC的交點為E，此題可分成兩種情況考慮：
①當△BPE的面積是△BDE的2倍時，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，即DE=PD，可設出P點的坐標，那么E點的縱坐標是P點縱坐標的，BD的長為B、P橫坐標差的絕對值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作為等量關系求出P點的坐標；
②當△BDE的面積是△BPE的2倍時，方法同①．

（1）∵△=（m+3）2>0，

∴與x軸有兩個不同的交點.

（2）∵

∴

∴m=1

∴

∴A（-1,0），B（3,0），C（0.3）

∴M（1,1）

∴R=，n=90°

∴

（3）設P為（t, ），則D為（t，0）

因為,所以DP與BC的交點Q為（t，t-3）

當△PBD被BC分為1：2兩部分時，

即

解得t1=2，t2=3（舍），t3=3（舍），t4=

綜上，P為（2，-3）或（，）