Question

【題目】如圖1，矩形在坐標系中，、分別在軸、軸的正半軸上，，矩形周長為18，面積為18．

（1）求點坐標；

（2）如圖2，、、分別在、、上，連、，若于，，設點橫坐標為，求的長（用含的代數式表示）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，是中點，連并延長至，連交于，若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）B（6，3）（2）CG＝2t（3）t＝

【解析】

（1）設B點坐標為（m，n），根據矩形周長和面積的值列方程組求解．

（2）作DH⊥OC于H，可證△DHE△OCG，由相似比可得CG＝2HE＝2AD．

（3）作MN⊥OC于N，交OG于K，連接OD，設DE與OQ交于點R．先證DMKF四點共圓，進而得出∠KFM＝45，再導角推出OP是∠AOG的角平分線，然后可以導出△DRQ和△EOR均為等腰三角形，于是DE的長可用t表示出來．注意到∠AOD與∠NOK相等，可推出OD＝DE，最后利用直角三角形AOD列勾股方程解出t的值．

（1）設B點坐標為（m，n）(m＞n)

由題意可知：

解得：或（舍去）

∴B點坐標為（6，3）．

（2）如圖2，作DH⊥OC于H．

則∠DHE＝90，

∴∠HDE＋∠DEH＝90，

∵DH⊥OG于F，

∴∠GOC＋∠DEH＝∠OFE＝90，

∴∠HDE＝∠COG，

∵∠OCG＝90＝∠DHE，

∴△DHE△OCG，

∴

∵B（6，3），

∴AB＝OC＝6，AO＝DH＝BC＝3，

∴＝2，

∴CG＝2HE，

∵D點橫坐標為t，

∴OH＝AD＝t，

∴OE＝2AD，

∴HE＝OH＝t，

∴CG＝2HE＝2t．

（3）如圖3，作MN⊥OC于N，交OG于K，連接OD．

∵M為AB中點，

∴AM＝BM＝ON＝CN＝AO＝BC＝MN＝3，KN＝CG＝t，

∴KN＝AD，所以DM＝KM，

∵∠DFK＝∠DMK＝90，

∴DFKM四點共圓，

∴∠DFM＝∠KFM＝45，

∵∠KFM＝∠OPF＋∠FOP，

∴∠FOP＋＝45，

∴2∠FOP＋2＝90°，

∵∠AOC＝90，

∴∠AOQ＋∠FOP＋∠COG＝∠AOQ＋∠FOP＋2＝90，

∴∠AOQ＝∠FOP，

∵∠AOQ＝∠OFR＝90，

∴∠ORF＝∠OQA，

∵∠ORF＝∠DRQ，∠OQA＝∠ROE，

∴∠DRQ＝∠OQA，∠ROE＝∠ORF，

∴DR＝DQ＝，RE＝OE＝2t，

∴DE＝DR＋RE＝＋2t，

∵tan∠AOD＝＝tan∠NOK，

∴∠AOD＝∠NOK，

∵∠AOD＋∠DOE＝∠NOK＋∠OEF＝90，

∴∠DOE＝∠OEF，

∴OD＝DE＝＋2t，

在Rt△AOD中：OA2＋AD2＝OD2，

∴9＋t2＝(＋2t)2，

解得t＝．