Question

3．在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+4m（m＞0）的圖象經過點B（p，2m），其中m＞0．
（1）若m=1，且k=-1，求點B的坐標；
（2）已知點A（m，0），若直線y=kx+4m與x軸交于點C（n，0），n+2p=4m，試判斷線段AB上是否存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法解答即可；
（2）用待定系數法確定函數的解析式，再根據勾股定理解答即可．

解答 解：（1）∵一次函數y=kx+4m（m＞0）的圖象經過點B（p，2m），
∴2m=kp+4m．
∴kp=-2m．
∵m=1，k=-1，
∴p=2．
∴B（2，2）．
（2）線段AB上存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長．
理由如下：
由題意，將B（p，2m），C（n，0）分別代入y=kx+4m，
得kp+4m=2m且kn+4m=0．
可得n=2p．
∵n+2p=4m，

∴p=m．
∴A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）．
∵x_B=x_A，
∴AB⊥x軸，
且  OA=AC=m．
∴對于線段AB上的點N，有NO=NC．
∴點N到坐標原點O與到點C的距離之和為NO+NC=2NO．
∵∠BAO=90°，
在Rt△BAO，Rt△NAO中分別有
OB²=AB²+OA²=5m²，NO²=NA²+OA²=NA²+m²．
若2NO=OB，
則4NO²=OB²．
即4（NA²+m²）=5m²．
可得NA=$\frac{1}{2}$m．
即NA=$\frac{1}{4}$AB．
所以線段AB上存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長，且NA=$\frac{1}{4}$AB．

點評 此題考查點的坐標與解析式的關系以及待定系數法的應用，用待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．