Question

如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.

求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.

 

Answer 1

見解析

【解析】分析：首先根據角之間的關系推出∠EAC=∠BAF．再根據邊角邊定理，證明△EAC≌ △BAF．最后根據全等三角形的性質定理，得知EC=BF．根據角的轉換可求出EC⊥BF.

證明：(1)因為 AE⊥AB，AF⊥AC，所以 ∠EAB=90°=∠FAC，

所以 ∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC.
又因為 ∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC.
所以 ∠EAC=∠BAF.
在△EAC與△BAF中，

所以 △EAC≌△BAF. 所以 EC=BF.

(2)因為 ∠AEB+∠ABE=90°，又由△EAC≌△BAF可知∠AEC=∠ABF，

所以 ∠CEB+∠ABF+∠EBA=90°，即∠MEB+∠EBM=90°，即∠EMB=90°，

所以 EC⊥BF.