Question

【題目】已知：如圖，在等腰三角形ABC中，120BAC180，ABAC，ADBC于點D，以AC為邊作等邊三角形ACE，ACE與ABC在直線AC的異側，直線BE交直線AD于點F，連接FC交AE于點M．

（1）求EFC的度數；

（2）求證：FE+FA=FC．

Answer 1

【答案】(1)；(2)詳見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得出∠1＝∠2，由直線AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根據等腰三角形的性質得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根據等腰三角形的性質得出∠3＝∠5，等量代換求出即可得到；

（2）在FC上截取FN，使FN＝FE，連接EN，根據等邊三角形的判定得出△EFN是等邊三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根據SAS推出△EFA≌△ENC，根據全等得出FA＝NC，即可證得結論．

解：（1）如圖1，∵，

∴，

∵，

∴直線垂直平分，

∴，

∴，

∴，即，

∴在等邊三角形中，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵在等邊三角形中，，

∴；

（2）在上截取，使，連接，如圖2，

∵，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，，

∵為等邊三角形，

∴，，

∴，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∴．