Question

【題目】在ABCD中，連接對角線BD，AB＝BD，E為線段AD上一點，AE＝BE，F為射線BE上一點，DE＝BF，連接AF．

（1）如圖1，若∠BED＝60°，CD＝2，求EF的長；

（2）如圖2，連接DF并延長交AB于點G，若AF＝2DE，求證：DF＝2GF．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析

【解析】

（1）先證明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解決問題；

（2）作FH∥AB交AE于H．設DE=BF=a，則AF=2a．再證明AH=EH=DE=a，根據(jù)FH∥AB，EF=FB，推出即可.

（1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD＝，

∵AB＝BD，

∴BD=

∵EA＝EB，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵∠DEB＝60°，∠DEB＝∠EAB+∠EBA，

∴∠BAD＝∠EBA＝∠ADB＝30°，

∴∠EBD＝90°，

∴BE＝2，DE＝2BE＝4，

∵BF＝DE，

∴BF＝4，

∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2＝2．

（2）證明：作FH∥AB交AE于H．設DE＝BF＝a，則AF＝2a．

∵EA＝EB，BA＝BD，

∴∠EAB＝∠EBA＝∠ADB，

∵BF＝DE，

∴△ABF≌△BDE（SAS），

∴BE＝AF＝2a，

∴EF＝a，EA＝EB＝2a，

∵FH∥AB，EF＝FB，

∴AH＝EH＝a，

∴，

∴DF＝2FG．