Question

已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊DC上的動點P重合（P不與點D，C重合），MN為折痕，點M，N分別在邊BC，AD上，連接AP，MP，AM，AP與MN相交于點F．⊙O過點M，C，P．
（1）請你在圖1中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）

AF

AN

與

AP

AD

是否相等？請你說明理由；
（3）隨著點P的運動，若⊙O與AM相切于點M時，⊙O又與AD相切于點H．設AB為4，請你通過計算，畫出這時的圖形．（圖2，3供參考）

Answer 1

（1）如圖：

（2）解法一：

AF

AN

與

AP

AD

不相等．
假設

AF

AN

=

AP

AD

，
則由相似三角形的性質，得MN∥DC，
∵∠D=90°
∴DC⊥AD
∴MN⊥AD
∵據題意得，A與P關于MN對稱，
∴MN⊥AP
∵據題意，P與D不重合，
∴這與“過一點（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾，
∴假設不成立，
∴

AF

AN

=

AP

AD

不成立；

解法二：

AF

AN

與

AP

AD

不相等．
理由如下：
∵P，A關于MN對稱，
∴MN垂直平分AP
∴cos∠FAN=

AF

AN

∵∠D=90°
∴cos∠PAD=

AD

AP

∵∠FAN=∠PAD
∴

AF

AN

=

AD

AP

∵P不與D重合，P在邊DC上
∴AD≠AP
∴

AD

AP

≠

AP

AD

從而

AF

AN

≠

AP

AD

；


（3）∵AM是⊙O的切線，
∴∠AMP=90°
∴∠CMP+∠AMB=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CMP=∠BAM
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM≌△MCP
∴MC=AB=4
設PD=x，則CP=4-x
∴BM=PC=4-x
連接HO并延長交BC于J，
∵AD是⊙O的切線
∴∠JHD=90°
∴HDCJ為矩形
∴OJ∥CP
∴△MOJ∽△MPC
∴OJ：CP=MO：MP=1：2
∴OJ=

1

2

（4-x）
OH=

1

2

MP=4-OJ=

1

2

（4+x）
∵MC²=MP²-CP²
∴（4+x）²-（4-x）²=16
解得：x=1，即PD=1，PC=3
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．