Question

（本題滿分8分）如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點A的坐標為(－2，0)．

小題1:⑴求線段AD所在直線的函數表達式．
小題2:⑵動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度，按照A→D→C→B的順序在菱形的邊上勻速運動，設運動時間為t秒．求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？

Answer 1

小題1:1）求出D(0,2)得1分  ， AD解析式y=x+2…………………1分
小題2:2）當t=2、6、10、14秒時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切。

專題：代數幾何綜合題。
分析：（1）在Rt△AOD中，根據OA的長以及∠BAD的正切值，即可求得OD的長，從而得到D點的坐標，然后利用待定系數法可求得直線AD的解析式。
（2）由于點P沿菱形的四邊勻速運動一周，那么本題要分作四種情況考慮：
在Rt△OAD中，易求得AD的長，也就得到了菱形的邊長，而菱形的對角線平分一組對角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①當點P在線段AD上時，若⊙P與AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R為⊙P的半徑），由此可求得AP的長，即可得到t的值；
②③④的解題思路與①完全相同，只不過在求t值時，方法略有不同。
解答：（1）∵點A的坐標為（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA?tan60°=2，
∴點D的坐標為（0，2），
設直線AD的函數表達式為y=kx+b，-2k+b=0；b=2，解得k=，b=2。
∴直線AD的函數表達式為y=x+2。

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，
如圖所示：
①點P在AD上與AC相切時，
AP1=2r=2，
∴t1=2
②點P在DC上與AC相切時，
CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，
∴t2=6
③點P在BC上與AC相切時，
CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
∴t3=1
④點P在AB上與AC相切時，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，
∴t4=14，
∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切。
點評：此題主要考查了一次函數解析式的確定、解直角三角形、菱形的性質、切線的判定和性質等；需要注意的是（2）題中，點P是在菱形的四條邊上運動，因此要將所有的情況都考慮到，以免漏解。