Question

【題目】如圖，拋物線y=ax-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，且PM= AB.

（1）求拋物線的解析式；
（2）點K是x軸正半軸上一點，點A、P關于點K的對稱點分別為 、 ，連接 、 ，若 ，求點K的坐標；
（3）矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上，邊AD在第二象限，AD=2，DE=3.將矩形ADEF沿x軸正方向平移t（t＞0）個單位，直線AD、EF分別交拋物線于G、H.問：是否存在實數t，使得以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=ax-2ax-3a可得它的頂點坐標為（1，-4a）.

當x=0時，y=3a，則C（0，-3a）

當y=0時，

則ax-2ax-3a=0，則x1=-1，x2=3.

則A（-1,0），B（3,0）.

即AB=4.

由B（3,0）和C（0,-3a）可得直線BC的解析式為y=ax-3a，

則M（1,-2a）,

則pM=-2a=2，即a=-1，

所以拋物線的解析式為y=-x+2x+3.

（2）

解：如圖，連接KP1，設K（m，0），m>0，

則P1（2m-1，4），A1（2m+1，0），

當 P1A⊥P1A1時，KP1=AK，

則（2m-1-m）2+42=(m+1)2，

解得m=4.

則K（4,0）.

（3）

解：由題可得DG//FH，當DG=FH時，以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形.

因為G是直線AD與拋物線的交點，則G（-1+t，-（-1+t）2+2(-1+t)+3），即（-1+t，-t2+4t）

同理H（-4+t，-（-4+t）2+2（-4+t）+3），即H（-4+t，-t2+10t-21），

則DG=|2-(-t2+4t)|=|t2-4t+2|，

FH=|-t2+10t-21|，

當DG=FH時，

則t2-4t+2=-t2+10t-21或t2-4t+2=-（-t2+10t-21），

解得t=或t=，

【解析】（1）由拋物線y=ax-2ax-3a可分別求出點P，C，B，A的坐標，則可求出AB的值，求出BC的解析式，從而得到點M的坐標，PM的長度，由PM=AB，可求得a；
（2）根據對稱的性質得到點P1的坐標，由當 P1A⊥P1A1時，KP1=AK，列方程解出m即可；
（3）由題可得DG//FH，當DG=FH時，以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形，則分別求出DG和FH的值，列方程即可解得.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．