Question

【題目】如圖，AM∥BC，D，E分別為AC，BC的中點，射線ED交AM于點F，連接AE，CF。

(1)求證：四邊形ABEF是平行四邊形；

(2)當AB=AC時，求證：四邊形AECF時矩形；

(3)當∠BAC=90°時，判斷四邊形AECF的形狀，(只寫結論，不必證明)。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形AECF是菱形

【解析】

(1)利用三角形的中位線定理得出AB∥EF,再由AM∥BC可得出結論;(2)易證ΔADF≌ΔCDE，得出DE=DF，推出四邊形AECF是平行四邊形，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形可得結果;(3)利用四邊相等的四邊形是菱形解答即可.

(1)證明：∵D，E分別為AC，BC的中點, ∴AB∥EF,∵AB∥EF，AM∥BC

∴四邊形ABEF是平行四邊形

(2)證明：∵AM∥BC

∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF

∵AD=DC

∴ΔADF≌ΔCDE

∴DE=DF

∴四邊形AECF是平行四邊形

又∵四邊形ABEF是平行四邊形

∴AB=EF

∵AB=AC

∴AC=EF

∴平行四邊形AECF是矩形

(3)當∠BAC=90°時，四邊形AECF是菱形。

理由: ∵∠BAC=90°,BE=CE, ∴AE=BE=EC, ∵四邊形ABEF是平行四邊形, 四邊形AECF是平行四邊形, ∴AF=BE,AE=FC, ∴AE=EC=FC=AF, ∴四邊形AECF是菱形.