Question

【題目】已知：如圖AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，∠DCB＝∠A．

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）若CD與⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）10.

【解析】

（1）相切，由已知可證得∠OCD=90°即CD是⊙O的切線；
（2）由已知可推出∠A=∠BCD=30°，即BC=BD=10，從而得到AB=20即可得到半徑的長．

（1）CD與⊙O相切．

證明：∵AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，

∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°；

∵∠A＝∠OCA，且∠DCB＝∠A，

∴∠OCA＝∠DCB，

∴∠OCD＝90°，

∴CD是⊙O的切線．

（2）在Rt△OCD中，∠D＝30°；

∴∠COD＝60°，

∴∠A＝30°，

∴∠BCD＝30°，

∴BC＝BD＝10，

∴AB＝20，

∴⊙O的半徑為10．