Question

11．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延長線交于點D，DE⊥PO交PO延長線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若PB=6，DB=8，求DC的長度；
（3）在（2）中的條件下，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由DE與PE垂直，得到∠E為直角，再由已知角相等及對頂角相等，得到∠PBD=∠E=90°，利用切線的判定方法判斷即可得證；
（2）在直角三角形PBD中，利用勾股定理求出PD的長，利用切線長定理得到PC=PB=6，由PD-PC即可求出DC的長；
（3）在直角三角形CDO中，設OC=r，則有DO=8-r，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到結果．

解答 （1）證明：∵DE⊥PE，
∴∠E=90°，
∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，
∵OB為圓的半徑，
∴PB為圓O的切線；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根據勾股定理得：PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PD與PB都為圓的切線，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD-PC=10-6=4；
（3）解：在Rt△CDO中，設OC=r，則有DO=8-r，
根據勾股定理得：（8-r）²=r²+4²，
解得：r=3，
則圓的半徑為3．

點評 此題考查了切線的判定與性質，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．