Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙ O的切線．

（2）求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=4．

【解析】

（1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．

（2）過點O作OF⊥AC于點F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．

（1）如圖，連接OD．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半徑,

∴DE是⊙O切線；

（2）過點O作OF⊥AC于點F，∴AF=CF=3，∴OF，

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四邊形OFED是矩形，∴DE=OF=4，∴AE=AF+EF=3+5=8

在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2=42+82=80，

∴AD=4．