Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，C，D為⊙O上兩點，連結OP，CD，PD＝PC．已知AB＝8．

（1）若OP＝5，PD＝3，求證：PD是⊙O的切線；

（2）若PD、PC是⊙O的切線；

①求證：OP⊥CD；

②連結AD，BC，如圖2，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，求弧CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明解析；②弧CD的長為．

【解析】

1）利用勾股定理的逆定理證明∠DOP＝90°即可．

（2）①如圖1中，連接OC．由切線長定理可知PD＝PC，因為OD＝OC，所以OP垂直平分線段CD，由此即可解決問題．

②求出圓心角∠DOC的度數即可解決問題．

（1）證明：∵直徑AB＝8，

∴OD＝4，

∵OP＝5，PD＝3，

∴OP2＝PD2+OD2，

∴∠ODP＝90°，

∴OD⊥DP，

∴PD是⊙O的切線．

（2）①證明：如圖1中，連接OC．

∵PD，PC是⊙O的切線，

∴PD＝PC，

∵OD＝OC，

∴OP垂直平分線段CD，

∴OP⊥CD．

②解：如圖2中，連接OD，OC．

∵OA＝OD，OB＝OC，

∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，

∴∠AOD＝180°﹣100°＝80°，∠BOC＝180°﹣140°＝40°，

∴∠DOC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，

∴弧CD的長＝ ＝ ．

故答案為：（1）證明見解析；（2）①證明解析；②弧CD的長為．