Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E，F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．
（1）證明：四邊形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴∠1=90°，

∵E、F分別是BC、AD的中點，

∴AF= AD，EC= BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵∠1=90°，

∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE= =4 ，

所以，S菱形ABCD=8×4 =32 ．

【解析】（1）根據菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證；（2）根據勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計算即可得解．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和菱形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．