Question

已知：如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B、C，PD⊥AB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連接CE并延長CE交⊙O于點F，連接AF．
（1）求證：△PBD∽△PEC；
（2）若AB=12，tan∠EAF=

2

3

，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析：（1）欲證兩三角形相似，在此題所給的已知條件中，可運用兩組邊對應成比例，且夾角相等來證明，∠APE的余弦值在△APD和△APE中，有兩種表示方法，從而得出一個等積式，根據切割線定理，再得到一個等積式，從而借助于PA²得到對應線段成比例，進而解答；
（2）由（1）得∠C=90°，所以BF是直徑，得∠BAF=90°，作OH⊥AB于H點，則∠HOA=∠EAF，在△HOA中求半徑OA的長．

解答：（1）證明：∵PA切⊙O于點A，
∴AO⊥PA．
∵PD⊥AB，
∴

PA

PE

=cos∠APE=

PD

PA

．
∴PA²=PD•PE…①
∵PBC是⊙O的割線，PA為⊙O切線，
∴PA²=PB•PC…②
聯立①②，得PD•PE=PB•PC，
即

PB

PD

=

PE

PC

．
又∠BPD=∠EPC，
∴△PBD∽△PEC．

（2）解：連接BF，作OH⊥AB于H點，
∵△PBD∽△PEC，
∴∠C=∠PDB=90°．
∴BF是直徑．
∴∠BAF=90°．
∵OH⊥AB，
∴OH∥AF．
∴∠EAF=∠HOA．
∴tan∠EAF=tan∠HOA=AH：OH=2：3．
又AB=12，
∴AH=6．
∴OH=9．
∴OA=

62+92

=3

13

．

點評：此題考查了三角函數、切割線定理，以及相似的判定，比較全面，難易程度適中．