Question

【題目】在一元二次方程中，有著名的韋達定理：對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有兩個實數根x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝（說明：定理成立的條件△≥0）．比如方程2x2﹣3x﹣1＝0中，△＝17，所以該方程有兩個不等的實數解．記方程的兩根為x1，x2，那么x1+x2＝，x1x2＝﹣，請根據閱讀材料解答下列各題：

（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根為x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：

①x12+x22；②；

（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的兩個實數根．

①是否存在實數k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

②求使的值為整數的實數k的整數值．

Answer 1

【答案】(1) ①x12+x22＝13, ②;(2) ①不存在,理由見解析；②k＝﹣2或﹣3或﹣5

【解析】

（1）用韋達定理寫出x1+x2與x1x2的值，把（x1+x2）2進行完全平方公式變形求得①，通分求值求得②；

（2）先求出△＞0時，k的取值范圍，用韋達定理寫出用k表示x1+x2與x1x2的值．①直接把等式左邊展開變形，代入x1+x2與x1x2的式子，即求出k．②化簡式子得到k在分母的分式，根據式子的值為整數和k的取值范圍確定k的值．

（1）∵x2﹣3x﹣2＝0，b2－4ac＝（﹣3）2﹣4×（﹣2）＝17＞0，

∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，

①x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝9+4＝13，

②，

（2）∵方程有兩個實數根，

∴b2－4ac＝（﹣4k）2﹣44k（k+1）＞0，

∴k＜0，x1+x2＝1，x1x2＝，

①∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣5x1x2+2x22＝2（x12+2x1x2+x22）﹣9x1x2＝2（x1+x2）2﹣9x1x2，

∴，

解得：k＝，與k＜0矛盾，

∴不存在k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立；

②，

∵的值為整數，

∴k+1＝±1或±2或±4，

又∵k＜0，

∴k＝﹣2或﹣3或﹣5.