Question

如圖AD是△ABC的高，點G、H在BC邊上，點E在AB邊上，點F在AC邊上，BC=10cm，AD=8cm，四邊形EFHG是面積為15cm²的矩形，求這個矩形的長和寬．

Answer 1

分析：首先設矩形EFHG的長為xcm，由四邊形EFHG是面積為15cm²的矩形，可得矩形EFHG的寬為：

15

x

cm，又由BC=10cm，AD=8cm，可求得AK的值，易證得△AEF∽△ABC，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比，即可得方程：

8- 15 x

8

=

x

10

，解此方程即可求得答案．

解答：解：設矩形EFHG的長為xcm，
∵四邊形EFHG是面積為15cm²的矩形，
∴矩形EFHG的寬為：

15

x

cm，
即EF=GH=xcm，EG=FH=

15

x

cm，
∵AD是△ABC的高，四邊形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，KD=EG=

15

x

cm，
∴AD⊥EF，AK=AD-KD=（8-

15

x

）cm，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AK

AD

=

EF

BC

，
∴

8- 15 x

8

=

x

10

，
即4x²-40x+75=0，
∴（2x-15）（2x-5）=0，
解得：x=

15

2

或x=

5

2

，
當x=

15

2

時，

15

x

=2；
當x=

5

2

時，

15

x

=6．
∴這個矩形的長和寬為：

15

2

，2或6，

5

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質和矩形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．