Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2﹣2ax+與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），拋物線的頂點為C，直線AC交y軸于點D，D為AC的中點．

（1）如圖1，求拋物線的頂點坐標；

（2）如圖2，點P為拋物線對稱軸右側上的一動點，過點P作PQ⊥AC于點Q，設點P的橫坐標為t，點Q的橫坐標為m，求m與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，如圖3，連接AP，過點C作CE⊥AP于點E，連接BE、CE分別交PQ于F、G兩點，當點F是PG中點時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（1，2）；（2）m=﹣t2+t+；（3）P（，﹣）

【解析】試題分析：（1）先由拋物線解析式確定出對稱軸，再用中點坐標確定出點A的坐標，代入拋物線解析式確定出拋物線解析式，化為頂點式即可得出頂點坐標；

（2）由（1）的條件，確定出直線AC解析式，由PQ⊥AC，確定出點P的坐標，消去y即可；

（3）先判斷出△ACE∽△APQ，再判斷出∠ACB＝90°，從而得到Rt△BCD≌Rt△BED，判斷出BD∥AP，進而確定出AP解析式，聯立直線AP和拋物線的解析式確定出點P坐標．

試題解析：

（1）解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax＋，

∴拋物線對稱軸為x＝﹣＝1，

∵拋物線的頂點為C，

∴點C的橫坐標為1，

設點A（n，0）

∵直線AC交y軸于點D，D為AC的中點．

∴＝0，

∴n＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵點A在拋物線y＝ax2﹣2ax＋上，

∴a＋2a＋ ＝0，

∴a＝﹣ ，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋x＋（x﹣1）2＋2，

∴拋物線的頂點坐標C（1，2）

（2）解：由（1）有，拋物線解析式為y＝﹣x2＋x＋ ，

∵拋物線與x軸交于A、B兩點，A（－1，0），拋物線對稱軸為x＝1，

∴B（3，0），

∵直線AC交y軸于點D，D為AC的中點．且A（﹣1，0），C（1，2），

∴D（0，1），

∵A（﹣1，0），C（1，2），

∴直線AC解析式為y＝x＋1，

∵PQ⊥AC，

∴設直線PQ解析式為y＝﹣x＋b，

∵設點P（t，﹣t2＋t＋），

∴直線PQ解析式為y＝﹣x﹣t2＋2t＋，

∵點Q在直線AC上，且點Q的橫坐標為m，

∴ ，

∴m＝﹣t2＋t＋；

（3）解：如圖，

連接DE，BD，BC，

∵CE⊥AP，

∴∠ACE＋∠CAE＝90°，

∵PQ⊥AC，

∴∠APQ＋∠CAE＝90°，

∴∠ACE＝∠APQ，

∵∠CAE＝∠CAE

∴△ACE∽△APQ，

∴∠APQ＝∠ACE，

∵∠AEC＝90°，

∴DE＝AD＝CD，

∴∠ACE＝∠DEC，

∵∠CEP＝90°，

∴EF＝QF＝PF，

∴∠APQ＝∠PEF，

∴∠PEF＝∠APQ＝∠ACE＝∠CED，

∴∠CED＋∠BEC＝∠PEF＋∠BEC＝∠PEC＝90°，

∵點A（﹣1，0），D（0，1），

∴OA＝OD，

∴∠BAC＝45°

∵點A，B是拋物線與x軸的交點，點C是拋物線的頂點，

∴AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴∠ACB＝90°

在Rt△BCD和Rt△BED中，

DE＝DC，BD＝BD ，

∴Rt△BCD≌Rt△BED，

∴∠BDC＝∠BDE，

∵DE＝DC，

∴BD⊥CE，

∵AP⊥CE，

∴AP∥BD，

∵B（3，0），D（0，1），

∴直線BD解析式為y＝－x＋1，

∵A（﹣1，0），

∴直線AP解析式為y＝﹣x﹣，

聯立拋物線和直線AP解析式得， ，

∴ ， （舍）

∴P（，﹣）．