Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點A，與直線y=﹣x交于點B，點B關于原點的對稱點為點C．

（Ⅰ）求過B，C兩點的拋物線y=ax2+bx﹣1解析式；

（Ⅱ）P為拋物線上一點，它關于原點的對稱點為Q．

①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；

②若點P的橫坐標為t（﹣1＜t＜1），當t為何值時，四邊形PBQC面積最大？最大值是多少？并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1；（Ⅱ）①P點坐標為（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；②當t=0時，四邊形PBQC的面積最大，最大值為2，理由見解析．

【解析】

（Ⅰ）首先求出A、B、C三點坐標，再利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（Ⅱ）①當四邊形PBQC為菱形時，可知PQ⊥BC，則可求得直線PQ的解析式，聯立拋物線解析式可求得P點坐標；

②過P作PD⊥BC，垂足為D，作x軸的垂線，交直線BC于點E，由∠PED=∠AOC，可知當PE最大時，PD也最大，用t可表示出PE的長，可求得取最大值時的t的值．

（Ⅰ）聯立兩直線解析式可得，

解得，

∴B點坐標為（﹣1，1），

又C點為B點關于原點的對稱點，

∴C點坐標為（1，﹣1），

∵直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點A，

∴A點坐標為（0，﹣1），

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A、B、C三點坐標代入可得，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1；

（Ⅱ）①當四邊形PBQC為菱形時，則PQ⊥BC，

∵直線BC解析式為y=﹣x，

∴直線PQ解析式為y=x，

聯立拋物線解析式可得，

解得或，

∴P點坐標為（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；

②當t=0時，四邊形PBQC的面積最大．

理由如下：

如圖，過P作PD⊥BC，垂足為D，作x軸的垂線，交直線BC于點E，

則S四邊形PBQC=2S△PBC=2×BCPD=BCPD，

∵線段BC長固定不變，

∴當PD最大時，四邊形PBQC面積最大，

又∠PED=∠AOC（固定不變），

∴當PE最大時，PD也最大，

∵P點在拋物線上，E點在直線BC上，

∴P點坐標為（t，t2﹣t﹣1），E點坐標為（t，﹣t），

∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，

∴當t=0時，PE有最大值1，此時PD有最大值，PD的最大值=，

∴四邊形PBQC的面積最大值=．