Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為AD的延長線上一點，且DE＝DC，點P為邊AD上一動點，且PC⊥PG，PG＝PC，點F為EG的中點．當點P從D點運動到A點時，則CF的最小值為___________

Answer 1

【答案】

【解析】

由正方形ABCD的邊長為4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，當P與D重合時，PC=ED=PA，即G與A重合，則EG的中點為D，即F與D重合，當點P從D點運動到A點時，則點F運動的路徑為DF，由D是AE的中點，F是EG的中點，得出DF是△EAG的中位線，證得∠FDA=45°，則F為正方形ABCD的對角線的交點，CF⊥DF，此時CF最小，此時CF=AG=．

解：連接FD

∵正方形ABCD的邊長為4，

∴AB=BC=4，∠B=90°，

∴AC=，

當P與D重合時，PC=ED=PA，即G與A重合，

∴EG的中點為D，即F與D重合，

當點P從D點運動到A點時，則點F運動的軌跡為DF，

∵D是AE的中點，F是EG的中點，

∴DF是△EAG的中位線，

∴DF∥AG，

∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，

∴∠BAG=45°，

∴∠EAG=135°，

∴∠EDF=135°，

∴∠FDA=45°，

∴F為正方形ABCD的對角線的交點，CF⊥DF，

此時CF最小，

此時CF=AG=；

故答案為：．