Question

如圖，正方形ABCD中，BE=CF．
(1)求證：△BCE≌△CDF；
(2)求證：CE⊥DF；
(3)若CD=4，且DG²＋GE²=18，則BE=   ．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，可得DC=BC，∠DCF=∠CGE，結合BE=CF，于是可以證明△BCE≌△CDF；
（2）由△DCF≌△CBE得到∠BCE=∠CDF，結合角角之間的數量關系，證明出CE⊥DF；
（3）連接DE，首先證明△DGE是直角三角形，利用勾股定理結合正方形的性質即可求出AE．
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠CGE，
∵在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；
（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；
（3）連接DE，
∵∠CGF=90°，
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DE2=DG²+GE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE=.