Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD平分∠CAB交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=3，DE=2，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵AD為∠EAB的平分線，
∴∠EAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥ED，
∴OD⊥DE，
則DE為圓O的切線；
（2）∵DE為圓的切線，AE為圓的割線，
∴DE²=EC•EA=EC•（EC+AC），
∵AC=3，DE=2，
∴4=EC（EC+3），即EC²+3EC-4=0，即（EC-1）（EC+4）=0，
解得：EC=1，
則AE=AC+CE=3+1=4，
在Rt△AED中，AE=4，DE=2，
根據勾股定理得：AD=2

5

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