Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點和實數，給出如下定義：當時，以點為圓心，為半徑的圓，稱為點的倍相關圓.

例如，在如圖1中，點的1倍相關圓為以點為圓心，2為半徑的圓.

（1）在點中，存在1倍相關圓的點是________，該點的1倍相關圓半徑為________.

（2）如圖2，若是軸正半軸上的動點，點在第一象限內，且滿足，判斷直線與點的倍相關圓的位置關系，并證明.

（3）如圖3，已知點，反比例函數的圖象經過點，直線與直線關于軸對稱.

①若點在直線上，則點的3倍相關圓的半徑為________.

②點在直線上，點的倍相關圓的半徑為，若點在運動過程中，以點為圓心，為半徑的圓與反比例函數的圖象最多有兩個公共點，直接寫出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）解：，3（2）解：直線與點的倍相關圓的位置關系是相切. （3）①點的3倍相關圓的半徑是3；②的最大值是.

【解析】

（1）根據點的倍相關圓的定義即可判斷出答案；

（2）設點的坐標為，求得點的倍相關圓半徑為，再比較與點到直線直線的距離即可判斷；

（3）①先求得直線的解析式，

（1）的1倍相關圓，半徑為：，

的1倍相關圓，半徑為：，不符合，

故答案為：，3；

（2）解：直線與點的倍相關圓的位置關系是相切，

證明：設點的坐標為，過點作于點，

∴點的倍相關圓半徑為，

∴，

∵，

∴，

∴點的倍相關圓半徑為，

∴直線與點的倍相關圓相切，

（3）①∵反比例函數的圖象經過點，

∴，

∴點B的坐標為： ，

∵直線經過點和 ，

設直線的解析式為，

把代入得：，

∴直線的解析式為：，

∵直線與直線關于軸對稱，

∴直線的解析式為：，

∵點在直線上，

設點C的坐標為： ，

∴點的3倍相關圓的半徑是：，

故點的3倍相關圓的半徑是3；

②的最大值是.