Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD的延長線，垂足為E，如圖1

（1）求證：ADCD=BDDE；
（2）若BD是邊AC的中線，如圖2，求 的值；

（3）如圖3，連接AE．若AE=EC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CE⊥BD，

∴∠A=∠E=90°，

∵∠ADB=∠EDC，

∴△BAD∽△CED，

∴ ，

∴ADCD=BDDE；

（2）

解：設CD=AD=a，則AB=AC=2a．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= a，

由（1）知，△BAD∽△CED，

∴ ，

∴ ，

解得：CE= a，

∴ = = ；

（3）

解：如圖3，延長CE、BA相交于點F．

∵BE是∠ABC的角平分線，且BE⊥CF

在△BEC和△BEF中， ，

∴△BEC≌△BEF，

∴CE=EF，

∴CF=2CE

又∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，

且∠ADB=∠CDE，

∴∠ABD=∠ACF

∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，

∴BD=2CE，

∴ =2．

【解析】（1）直接判斷出△ABD∽△ECD，即可得出結論；（2）先設AB=AC=2a，CD=a，則BC= a，AD=a．求出BD，而△BAD∽△CED，得出 ，代入求出CE即可解決問題．（2）如圖3，延長CE、BA相交于點F．只要證明△BEC≌△BEF，推出CE=EF，CF=2CE，由ABD≌△ACF，推出BD=CF，即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．