Question

【題目】如圖，已知中，，D是線段AC上一點（不與A,C重合）,連接BD，將沿AB翻折，使點D落在點E處，延長BD與EA的延長線交于點F，若是直角三角形，則AF的長為_________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分別討論∠E=90°，∠EBF=90°兩種情況：①當∠E=90°時，由折疊性質和等腰三角形的性質可推出△BDC為等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，進而得到∠F=45°，推出△ADF為等腰直角三角形即可求出斜邊AF的長度；②當∠EBF=90°時，先證△ABD∽△ACB，利用對應邊成比例求出AD和CD的長，再證△ADF∽△CDB，利用對應邊成比例求出AF.

①當∠E=90°時，由折疊性質可知∠ADB=∠E=90°，如圖所示，

在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°

∴∠ABC=∠BAC==67.5°

∵∠BDC=90°，∠C=45°

∴△BCD為等腰直角三角形，

∴CD=BC=，∠DBC=45°

∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°

∴∠EBF=45°

∴∠F=90°-45°=45°

∴△ADF為等腰直角三角形

∴AF=

②當∠EBF=90°時，如圖所示，

由折疊的性質可知∠ABE=∠ABD=45°，

∵∠BAD=∠CAB

∴△ABD∽△ACB

∴

由情況①中的AD=，BD=，

可得AB=

∴AD=

∴CD=

∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°

∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°

∴∠F=22.5°=∠DBC

∴EF∥BC

∴△ADF∽△CDB

∴

∴

∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD

∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°

∴∠F不可能為直角

綜上所述，AF的長為或.

故答案為：或.