Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．

（1）求證：直線DF與⊙O相切；

（2）求證：BF=EF；

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：

（1）連接OD，由已知易得∠B=∠C，∠C=∠ODC，從而可得∠B=∠ODC，由此可得AB∥OD，結合DF⊥AB即可得到OD⊥DF，從而可得DF與⊙O相切；

（2）連接AD，由已知易得BD=CD，∠BAD=∠CAD，由此可得DE=DC，從而可得DE=BD，結合DF⊥AB即可得到BF=EF.

詳解：

（1）連結OD，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴DF⊥OD，

∴直線DF與⊙O相切；

（2）連接AD．

∵AC是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，又AB=AC，

∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，

∴DE=DC，

∴DE=DB，又DF⊥AB，

∴BF=EF．