Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點M為BA延長線上一點，∠ABC的平分線BE和∠CAM的平分線AD相交于點P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點H，交BC的延長線于點F，連接AF交DH于點G，則下列結論：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③DG＝AP+GH；④BD﹣AH＝AB．其中正確的是_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①正確．證明∠APB＝∠ACB即可．

②正確．證明△PBA≌△PBF（ASA）即可．

③錯誤．證明DG＝AG，GH＝GF，AF＞AP即可判斷．

④正確．根據BD﹣AH＝BD﹣DF＝BF＝AB可得結論．

解：由題意可以假設∠MAP＝∠PAC＝x，∠ABP＝∠PBD＝y，

則有，

可得∠APB＝∠ACB＝45°，故①正確，

∵PF⊥AD，

∴∠APF＝90°，

∴∠APB＝∠FPB＝45°，

∵PB＝PB，∠ABP＝∠PBF，

∴△PBA≌△PBF（ASA），

∴PA＝PF，BA＝BF，故②正確，

∵HP⊥AD，DC⊥AH，

∴AG⊥DH，

∵∠DPF＝∠HCF＝90°，∠DFP＝∠HFC，

∴∠PDF＝∠PHA，

∵∠DPF＝∠APH＝90°，PF＝PA，

∴△DPF≌△HPA（AAS），

∴DF＝AH，PD＝PH，

∴∠PDH＝∠AHP＝45°，

∴∠ADG＝∠DAG＝45°，

∴DG＝AG，

∵∠GHF＝∠GFH＝45°，

∴GH＝FG，

∵DG＝FG+AH＝GH+AF，AF＞PA，

∴DG≠GH+PA，故③錯誤，

∵BD﹣AH＝BD﹣DF＝BF，BF＝AB，

∴BD﹣AH＝AB，故④正確．

故答案為：①②④．