Question

【題目】先讓我們一起來學(xué)習(xí)方程m2+1= 的解法：
解：令m2=a，則a+1= ，方程兩邊平方可得，（a+1）2=a+3
解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1
點(diǎn)評(píng)：類似的方程可以用“整體換元”的思想解決．
不妨一試：
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．

（1）求拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；
（3）當(dāng)△PHO為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（4）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，﹣2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P、O、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+1，頂點(diǎn)B（0，1）

（2）=
②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想PO與PH有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
解：結(jié)論：PO=PH．理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣ m2+1）= m2+1PO= = m2+1，
∴PO=PH
（3）

解：∵△PHO為等邊三角，

∴OP=OH．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：OH= ．

∴ m2+1= ，解得：m=±2 ，

∴P（2 ，﹣2）、（﹣2 ，﹣2）

（4）

解：∵BC= = ，AC= = ，AB= =4 ．

∴BC=AC，

∵PO=PH，以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

∴PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊，

∴ ，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣ m2+1），

∴ = ，解得m=±1．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1， ）或（﹣1， ）

【解析】解： （2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)．
∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH．
所以答案是：=．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．