Question

【題目】旋轉變換是全等變換的一種形式，我們在解題實踐中經常用旋轉變換的方法來構造全等三角形來解決問題。

（1）方法探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=45°

試探究線段BD、CE、DE可以組成什么樣的三角形。我們可以過點B作BF⊥BC，使BF=EC，連接AF、DF，易得∠AFB=45°進而得到△AFB≌△AEC，相當于把△AEC繞點A順時針旋轉90°到△AFB，請接著完成下面的推理過程：

∵△AFB≌△AEC，

∴∠BAF= ，AF=AE，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE= ，

∴∠BAF+∠BAD=45°，

∴∠DAF=45°= ，

在△DAF與△DAE中，

AF=AE，

∠DAF=∠DAE，

AD=AD，

∴△DAF≌△DAE，

∴DF= ，

∵BD、BF、DF組成直角三角形，

∴BD、CE、DE組成直角三角形.

（2）方法運用

① 如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，點E在邊BC上，點F在邊CD上，∠EAF=45°試判斷線段BE、DF、EF之間的數量關系，并說明理由。

② 如圖③，在①的基礎上若點E、F分別在BC和CD的延長線，其他條件不變，①中的關系在圖③中是否仍然成立？若成立請說明理由；若不成立請寫出新的關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）∠CAE ， 45°，∠DAE ， DE ；（2）①EF=BE+DF；②①中關系不成立,EF=BE-DF.

【解析】

(1) 作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；

(2) 延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠EAB=∠DAG,可得∠EAF=∠GAF,進而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF得到EF=BE+DF;

(3) 延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,進而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF,EF=BE-DF .

（1）∠CAE ， 45°，∠DAE ， DE ；

（2）①EF=BE+D.

理由：

延長CD到G，使DG=BE，

則∠ADG+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠ADC=180°

∴∠ABC=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

DG=BE

∠ABC=∠ADG

AB=AD

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠EAB=∠DAG,

∴∠EAF=∠GAF=45°,

∴△AEF≌△AGF,

∴GF=EF.

②.①中關系不成立,EF=BE-DF.

理由:

延長CD到G，使DG=BE，

證得△ABE≌△ADG,

可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,

∵∠DAF=45°-∠DAE,

∴∠GAF=∠DAG-∠DAF=（90°-∠DAE）-（45°-∠DAE）=45°=∠EAF,

∴△AEF≌△AGF,

∴GF=EF,

∵GF=DG-DF,

∴EF=BE-DF .