Question

n個正整數a₁，a₂，…，a_n滿足如下條件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1個不同的數的算術平均數都是正整數．求n的最大值．

Answer 1

分析：設a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1個數的算術平均數為正整數b_i，從而可推出n-1能整除（a_j-a_i），然后根據a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，可得出n的范圍，從而結合題意可得出n的值．

解答：解：設a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1個數的算術平均數為正整數b_i，i=1，2，n．即bi=

(a1+a2++an)-ai

n-1

．
于是，對于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=

aj-ai

n-1

，
從而n-1|（a_j-a_i），
由于b1-bn=

an-a1

n-1

=

2008

n-1

是正整數，
故n-1|2³×251，
由于a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，
所以，（n-1）²≤2008，于是n≤45，
結合n-1|2³×251，所以，n≤9；
另一方面，令a₁=8×0+1，a₂=8×1+1，a₃=8×2+1，a₈=8×7+1，a₉=8×251+1，
則這9個數滿足題設要求．
綜上所述，n的最大值為9．

點評：本題考查數的整除性問題，難度較大，在解答時要抓住a₁，a₂，…，a_n中任意n-1個不同的數的算術平均數都是正整數這個條件進行解答．