Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y＝﹣x+8交x軸于點A，交y軸于點B，點C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y軸于點D．

（1）求點D的坐標；

（2）點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，同時點Q從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿AB勻速運動，設點P運動的時間為t秒（0＜t＜3），△PCQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，過點Q作RQ⊥AB交y軸于點R，連接AD，點E為AD中點，連接OE，求t為何值時，直線PR與x軸相交所成的銳角與∠OED互余．

Answer 1

【答案】（1）D（0，4）；（2）S=t2﹣6t+12；（3）t＝或

【解析】

（1）首先證明AC=BC，利用平行線等分線段定理推出OD=BD=4即可解決問題．
（2）如圖2，作PF⊥AB于點F，求出PF，CQ即可解決問題．
（3）分兩種情形：當R在y軸的負半軸上，如圖3中，當R在y軸的正半軸上，如圖4中，用兩種方法求出OR，構建方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵直線y＝﹣x+8交x軸于點A，交y軸于點B，

∴A（6，0），B（0，8）

∴OA＝6，OB＝8，

∴AB＝＝＝10，

∵AC＝5，

∴AC＝BC＝5，

∵CD∥OA，

∴BD＝OD＝4，

∴D（0，4）．

（2）如圖2，作PF⊥AB于點F，PA＝6﹣t

PF＝PAsin∠PAF＝（6﹣t），

∴CQ＝5﹣t，

S＝CQPF＝（5﹣t）（6﹣t）＝t2﹣6t+12．

（3）如圖3中，作OG⊥AD 于點G，

在Rt△AOD中，AD＝＝＝2，

∵S△AOD＝ODOA＝ADOG

∴OG＝＝，

∴DG＝＝＝，

∵DE＝AE＝，

∴GE＝DE﹣DG＝﹣＝，

∵∠OED+∠OPR＝90°，∠OED+∠EOG＝90°，

∴∠OPR＝∠EOG，

∴tan∠OPR＝tan∠EOG＝

∵BR＝＝＝﹣t，

∵tan∠OPR＝＝，OP＝t，

∴OR＝t，

當R在y軸的負半軸上，如圖3中，

OR＝BR﹣8＝﹣t，

∴t＝﹣t，

解得t＝，

當R在y軸的正半軸上，如圖4中，

OR＝8﹣BR＝t﹣，

∴t＝t﹣，

解得t＝，

綜上，當t值為或，直線PR與x軸相交所成的銳角與∠OED互余．