Question

（2012•濱州）如圖1，l₁，l₂，l₃，l₄是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上．過點A作AF⊥l₃于點F，交l₂于點H，過點C作CE⊥l₂于點E，交l₃于點G．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面積；
（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h₁，h₂，h₃，試用h₁，h₂，h₃表示正方形ABCD的面積S．

Answer 1

分析：（1）直接根據HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；
（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根據S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{H正方形EGF}即可得出結論；
（3）由△AFD≌△CEB可得出h₁=h₃，再根據（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}，進而得出結論．

解答：（1）證明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，
∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠CBE=∠BAH
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°
∴△ABH≌△BCE，
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴AH=DF=BE，
∵l₁，l₂，l₃，l₄是一組平行線，
∴AH=HF，BE=EH，
∴EH=HF，
∵l₂∥l₃，AF⊥l₃于點F，CE⊥l₂于點E，
∴四邊形HEGF是正方形，
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}
=4×

1

2

×2×1+1×1
=5；

（3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h₁=h₃，
由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}
=4×

1

2

（h₁+h₂）•h₁+h₂²
=2h₁²+2h₁h₂+h₂²．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的性質及平行線之間的距離，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此題的關鍵．