Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于點D，點E為AC中點且BE平分∠ABD，連接BE交AD于點F，且BF=AC，過點D作DG∥AB，交AC于點G．

求證：

（1）∠BAD=2∠DAC

（2）EF=EG．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

（1）由AB=AC，E是AC的中點，可得BE⊥AC，∠DBA=2∠DBF；結合AD⊥BC可證得∠DBF=∠DAC，從而可證△BDF≌△ADC，得到AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=2∠DBF=2∠DAC；

（2）如圖，延長BE、DG交于點K，①由DG∥AB和BE平分∠ABC可得∠K=∠DAK=∠DAC，從而可得DK=DB=DA；②由AB=BC，DG∥AB可得∠DGC=∠C，從而可得DG=DC=DF，由①②可得AD-DF=DK-DG，即AF=KG，最后通過證△AEF≌△KEG可得EF=EG.

試題解析：

（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDF=90°，

∵AB=BC，E為AC的中點，

∴∠DBA=2∠CBE，BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC，

即∠DBF=∠CAD，

在△BDF和△ADC中，

∠BDF=∠ADC=90°，∠DBF=∠CAD，BF=AC，

∴△BDF≌△ADC，

∴BD=AD，

∴∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC。

（2）延長BE、DG交于點k,

∵DG//AB，

∴∠CGD=∠CAB，∠k=∠ABE，

∵∠BAC=∠C,

∴∠CGD =∠C,

∵∠K=∠CBE=∠CAD,

∠AEF=∠KEG=90°，∠EAF=∠EKG，

∴DG=DC，DK=BD，

∴DG=DF，DK=BD=AD，

∴DK-DG=AD-DF，即GK=AF，

在Rt△AEF和Rt△KEG中，

∠AEF=∠KEG=90°，∠EAF=∠K，AF=GK，

∴Rt△AEF≌ Rt△KEG,

∴EF=EG.