Question

【題目】如圖，拋物線的頂點P（m，1）（m＞0），與y軸的交點C（0，m2+1）．

（1）求拋物線的解析式（用含m的式子表示）

（2）點N（x，y）在該拋物線上，NH⊥直線y＝于點H，點M（m，）且∠NMH＝60°．

①求證：△MNH是等邊三角形；

②當點O、P、N在同一直線上時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）該拋物線解析式是：y＝（x﹣m）2+1；（2）①證明見解析；②聯立方程組，解得m＝．

【解析】

（1）設拋物線解析式把點C的坐標代入即可求得a的值；

（2）①證明NM＝NH即可；

②求點M、N的縱坐標的數量關系，得到點N的縱坐標；再求直線OP的解析式，求m的值．

解：（1）設拋物線解析式是y＝a（x﹣m）2+1（a≠0），

將C（0，m2+1）代入，得a（0﹣m）2+1＝m2+1

解得a＝1．

故該拋物線解析式是：y＝（x﹣m）2+1；

（2）①根據題意知，NH＝y﹣．

NM＝＝＝＝y﹣．

則NM＝NH．

又因為∠NMH＝60°，

所以△MNH是等邊三角形；

②由①知，△MNH是等邊三角形．則yM＝yN，即＝y．故yN＝ ．

由于點N（x，）在拋物線y＝（x﹣m）2+1上，

∴（x﹣m）2+1＝①

所以點N的坐標是（x，（x﹣m）2+1）．

設直線OP的解析式是y＝kx（k≠0）．

把P（m，1）（m＞0）代入，得mk＝1．

解得k＝．

故該直線方程是y＝．

把N（x，（x﹣m）2+1）代入，得（x﹣m）2+1＝②．

②聯立方程組，解得m＝．