Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AB邊上的動點，過點D作DE⊥AB交邊AC于點E，過點E作EF⊥DE交BC于點F，連接DF．

（1）當AD＝4時，求EF的長度；

（2）求△DEF的面積的最大值；

（3）設O為DF的中點，隨著點D的運動，則點O的運動路徑的長度為______．

Answer 1

【答案】（1），（2）6，（3）

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB的長，根據∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°可證明△AED∽△ABC，即可求出AE、CE的長，由∠EDA＝∠DEF＝90°可得EF//AB，即可證明△CEF∽△ACB，根據相似三角形的性質即可求出EF的長；（2）設AD＝x.由△AED∽△ABC可得＝＝，即可用x表示出DE、AE的長，進而可表示CE的長，由△CEF∽△ACB可得＝，即可用x表示出EF的長，進而可用x表示出△DEF的面積，根據二次函數的性質即可求出△DEF的面積的最大值；（3）過C作CG⊥AB于G，當點D與A點重合時，點O為AB中點，當點D與點G重合時，點O為CG的中點，當點D在點G右邊時，DE與AC無交點，點O不存在，設AB中點為O1，CG的中點為O2，根據△ABC的面積可求出CG的長，即可得O2G的長，利用勾股定理可求出BG的長，即可得O1G的長，利用勾股定理求出O1O2的長即可.

（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AB＝＝＝10．

∵DE⊥AB，

∴∠EDA＝90°．

∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，

∴△AED∽△ABC，

∴＝．

∴AE＝AB＝5．

∴CE＝AC－AE＝8－5＝3．

∵DE⊥AB，

∴∠DEF＝90°．

∵∠EDA＝∠DEF＝90°，

∴EF∥AB．

∴△CEF∽△ACB，

∴＝．

∴EF＝·AB＝．

（2）解：設AD＝x.

∵△AED∽△ABC，

∴＝＝．

∴DE＝·BC＝x，AE＝·AB＝x．

∴CE＝AC－AE＝8－x．

∵△CEF∽△ACB，

∴＝．

∴EF＝·AB＝10－x．

∴S△DEF＝DE·EF＝－x2＋x＝－(x－)2＋6．

∴當x＝時，S△DEF取最大值為6．

因此，△DEF的面積的最大值為6．

（3）過C作CG⊥AB于G，

當點D與A點重合時，點O為AB中點，當點D與點G重合時，點O為CG的中點，當點D在點G右邊時，DE與AC無交點，點O不存在，設AB中點為O1，CG的中點為O2，

∴O1O2為點O的運動路徑的長度，

∵S△ABC=ACBC=ABCG，

∴CG===，

∴O2G=CG=，BG==，

∵AB=10，

∴O1B=5，

∴O1G= O1B-BG=，

∴O1O2===.