Question

【題目】四邊形ABCD中，AB=BC，∠B=∠C=90°，P是BC邊上一點，AP⊥PD，E是AB邊上一點，∠BPE=∠BAP．

（1） 如圖1，若AE=PE，直接寫出=______；

（2） 如圖2，求證：AP=PD＋PE；

（3） 如圖3，當AE=BP時，連BD，則=______，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）首先證明∠PAB=30°，設PB=a，可得AB=BCa，求出PC即可解決問題；

（2）如圖2中，延長DP交AB的延長線于M，作MN⊥DC交DC的延長線于N．首先證明PE=PM，再證明△ABP≌△MND（ASA）即可解決問題；

（3）如圖3，延長DP交AB的延長線于M，作MN⊥DC交DC的延長線于N．首先證明DN=PB=AE，EB=BM=CN，設AE=PB=DN=x，EB=BM=CN=y，求出PE，BD即可解決問題．

（1）如圖1．

∵AE=PE，∴∠EAP=∠EPA．

∵∠EPB=∠PAE，∴∠EPB=∠PAE=∠EPA．

∵∠B=90°，∴∠PAB+∠APB=90°，∴3∠PAE=90°，∴∠PAE=30°．

設PB=a，則AB=BCa，∴PC=BC﹣PBa﹣a，∴1．

故答案為：．

（2）如圖2，延長DP交AB的延長線于M，作MN⊥DC交DC的延長線于N．

∵AP⊥DM，∴∠APM=∠PBM=90°．

∵∠PAE+∠APB=90°，∠APB+∠BPM=90°，∴∠PAE=∠BPM．

∵∠EPB=∠PAE，∴∠EPB=∠BPM．

∵∠EPB+∠PEB=90°，∠BPM+∠PMB=90°，∴∠PEB=∠PMB，∴PE=PM．

∵∠CBM=∠BCN=∠N=90°，∴四邊形BCNM是矩形，∴BC=MN=AB，BC∥MN，∴∠DMN=∠BPM=∠PAB．

∵∠ABP=∠N=90°，∴△ABP≌△MND（ASA），∴PA=DM．

∵DM=DP+PM=DP+PE，∴PA=DP+PE．

（3）如圖3，延長DP交AB的延長線于M，作MN⊥DC交DC的延長線于N．

由（2）可知：PE=PM，△ABP≌△MND，四邊形BCNM是矩形，∴PB=DN，設PB=DN=x，∴AE=PB=DN=x．

∵PE=PM，PB⊥EM，∴EB=BM．

∵BM=CN，∴BE=BM=CN，設BE=BM=CN=y，則CD=x﹣y，BC=AB=x+y．

在Rt△PBE中，PE．在Rt△DCB中，BD，∴．

故答案為：．