Question

新定義：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，則稱點(x₀,x₀)為拋物線y=ax²+bx+c (a≠0)上的不動點.設拋物線C的解析式為：y=ax²+(b+1)x+(b -1)(a≠0).
（1）拋物線C過點(0，-3)；如果把拋物線C向左平移個單位后其頂點恰好在y軸上，求拋物線C的解析式及其上的不動點；
（2）對于任意實數b，實數a應在什么范圍內，才能使拋物線C上總有兩個不同的不動點？                                           
（3）設a為整數，且滿足a+b+1=0，若拋物線C與x軸兩交點的橫坐標分別為x₁, x₂，是否存在整數k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=x²-x-3，（-1，-1）和(3，3)；（2）0＜a＜1；（3）-1或-2.

試題分析：（1）根據拋物線C過點(0，-3)，把拋物線C向左平移個單位后其頂點恰好在y軸上，即可得到關于a、b的方程組，從而求得結果；
（2）由拋物線C有兩個不同點可得△＞0，即b²-4a(b-1)＞0，b²-4ab+4a＞0，再結合b為任意實數，且使得上式成立，可得(-4a)²-4×1×4a＜0，整理得a²-a＜0，即可求得結果；
（3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入拋物線C得y=ax²-ax-(a+2)，根據x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點橫坐標可得△=a²+4a(a+2)＞0，即可求得字母a的范圍，再結合根與系數的關系求解即可.
（1）由題意得，解之得 
∴拋物線為y=x²-x-3
令x=x²-x-3，解之得x₁=-1，x₂=3  
∴不動點為（-1，-1）和(3，3)；
（2）∵拋物線C有兩個不同的不動點，
∴x=ax²+(b+1)x+(b-1)，整理得ax²+bx+(b-1)=0
∵拋物線C有兩個不同點， 
∴△＞0，即b²-4a(b-1)＞0，b²-4ab+4a＞0
∵b為任意實數，且使得上式成立，
∴(-4a)²-4×1×4a＜0，整理得a²-a＜0，
從而得或，解之得0＜a＜1   
∴實數a應在0＜a＜1；
（3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入拋物線C得y=ax²-ax-(a+2)
∵x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點橫坐標  
∴△=a²+4a(a+2)＞0，解得a＞0或a＜
由根與系數的關系，得，x₁+x₂="1," x₁·x₂= ,
∴k=3+=3+=( a＞0或a＜,且a為整數)
要使k為整數，取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合題意，舍去；
∴存在, .
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．