Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，CD與⊙O相切于點E，AD⊥CD于點D．

（1）求證：AE平分∠DAC；

（2）若AB=6，∠ABE=60°．

①求AD的長； ②求出圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析．（2）①AD=4.5 ②S陰影=

【解析】

解：（1）證明：∵CD切⊙O于E

∴∠3=∠4

∵AB是直徑

∴∠AEB=90 °，

又∵AD⊥CD

∴∠D=90 °，

∴∠1+∠3=90°=∠2+∠4， 而∠3=∠4，

∴∠1=∠2，即AE平分∠DAC；

（2）①Rt△ABE中，AE=ABsin∠4=6×sin60°=6×=，

Rt△AED中，AD=AEsin∠3=×sin60°=×=4.5；

②連結OE，則有∠AOE=2∠4=120°

∴，

Rt△ABE中，∠2=90° ∠4=30°，

作EH⊥AB于點H，則EH=AEsin30°=，

∴，

∴.