Question

【題目】如圖，拋物線L1：y＝－x2－2x＋3交x軸于A，B兩點，交y軸于M點拋物線L1向右平移2個單位得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點．

(1)求拋物線L2對應的函數表達式；

(2)拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若點P是拋物線L1上的一個動點(P不與點A，B重合)，那么點P關于原點的對稱點Q是否在拋物線L2上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）存在，N(2，3)，N′(－2，3);（3）點Q不在拋物線L2上．

【解析】

(1)由于是平移，所以拋物線的開口方向和開口大小不變，先求出L1與x軸的交點，再求出L2與x軸的交點，即可求出拋物線L2的解析式；

(2)因為是平移，根據平移的性質，連接各組對應點的線段平行且相等，故存在符合條件的點N,即可求得N點坐標；

(3)先設出L1上的點（x1，y1），進而求得關于原點的對稱點（-x1，-y1），再將（-x1，-y1）代入函數L2的解析式，成立則在圖像上，不成立則不在圖像上．

解：(1)令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，

　 ∴x1＝－3，x2＝1，

　 ∴A(－3，0)，B(1，0) ，

　∵拋物線L1向右平移2個單位得拋物線L2，

　 ∴C(－1，0)，D(3，0)，a＝－1，

　 ∴拋物線L2為y＝－(x＋1)(x－3) ．

　 即y＝－x2＋2x＋3．

(2)存在；令x＝0，得y＝3，

∴M(0，3),

　∵拋物線L2是L1向右平移2個單位得到的，

　∴點N(2，3)在L2上，且MN＝2，MN∥AC，

又∵AC＝2，

∴MN＝AC，

∴四邊形ACNM為平行四邊形．

同理，L1上的點N′(－2，3)滿足N′M∥AC，N′M＝AC，

　∴四邊形ACMN′是平行四邊形．

∴N(2，3)或N′(－2，3)即為所求．

(3)設P(x1，y1)是L1上任意一點(y1≠0)，

則點P關于原點的對稱點Q(－x1，－y1)，

且，

將點Q的橫坐標代入L2，

得：

∴點Q不在拋物線L2上．