Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，點O在BD上，以O為圓心的圓恰好經過A、B、C三點，⊙O交BD于E，交AD于F，且，連接OA、OF．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）80°

【解析】

（1）先根據圓的性質得：∠CBD=∠ABD，由平行線的性質得：∠ABD=∠CDB，根據直徑和等式的性質得：，由一組對邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形，由AB=BC可得結論；

（2）先設∠FOE=x，則∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x,根據∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+（180-3x）=180，求出x的值，則可得∠ABC的度數．

（1）證明：∵,
∴∠CBD=∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵BE是⊙O的直徑，

∴,
∴,
∴AB=BC=CD，
∵CD∥AB，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵∠AOF=3∠FOE，
設∠FOE=x，則∠AOF=3x，
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=（180-3x）°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=2x，
∴∠ABC=4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴4x+2x+（180-3x）=180，
x=20°，

∴∠ABC=80°．